Построение нечетких прогностических моделей в экономике
Н.С. Косиненко
им. , г.
Традиционные компьютерные вычисления «слишком точны» для реального мира и процессов в нем. Эти вычисления не учитывают тот факт, что невозможно получить полную информацию или определение ее недостаточно обосновано. Применение к такой информации традиционной (классической) математики не решает проблемы адекватности получаемых результатов.
Известному естествоиспытателю XIX в. Т. Гексли принадлежит замечательная фраза о математике, которая уподобляется жерновам – она перемалывает любой продукт. Но из плевел муки получить нельзя, даже при идеальных жерновах.
То же самое можно сказать и о моделях: они должны быть доброкачественными и правильно отражать реальность, в противном случае изучение каких-либо процессов на основе таких моделей – это всего лишь математические упражнения.
Проблема неопределенности является составной частью проблемы управления в сложных системах, к которым относятся системы экономического планирования, жизнеобеспечения, социальные системы большой размерности и др. Для таких систем рабочую модель управления в условиях неопределенности можно представить в виде «черного ящика» (ЧЯ), входы и выходы которого описываются нечеткими множествами. Моделирование сложных систем на основе ЧЯ называют синтетическим моделированием или кибернетическим моделированием. В противоположность аналитическому подходу, при котором моделируется внутренняя структура системы, в синтетическом методе ЧЯ моделируется внешнее функционирование системы, т. е. имитируются поведенческие особенности системы. При этом структура системы никак не отражается в структуре уравнений системы.
Функционирование системы в рамках синтетической модели описывается чисто информационно, на основе данных экспериментов или наблюдений над реальной системой. Информационная модель проигрывает аналитическим моделям и экспертным системам по степени «объяснимости» полученных результатов, однако отсутствие ограничений на сложность моделей определяет их важную практическую значимость.
Можно выделить несколько типов информационных моделей, которые отличаются характером запросов к ним и на основе которых осуществляется постановка задачи управления и анализа:
· моделирование отклика системы на внешние воздействия;
· классификация внутренних состояний системы;
· прогноз динамики изменения системы;
· адаптивное управление системой;
· оптимизация параметров системы относительно заданной функции ценности;
· оценка полноты описания системы и сравнительная информационная значимость параметров системы.
Задачей моделирования является идентификация системы, которая состоит в определении существования функционального отношения, алгоритма или системы правил. В общем виде это можно представить следующим образом (рис. 1).
|
Рис. 1. Система и ее модель системы: Z – вектор выхода черного ящика, близкий к
Y – вектору выхода реальной системы в некотором метрическом базисе;
X – вектор входа, компоненты которого отвечают количественным свойствам системы; V – вектор количественных свойств внешних воздействий
Информационные модели по своей природе всегда являются неполными:
1. Пространство входных – выходных переменных в общем случае не может содержать все параметры системы.
2. В данных всегда присутствуют ошибки разной природы, шумы, а также противоречия отдельных измерений по отношению друг к другу.
3. Наблюдения, как правило, имеют произвольное распределение в пространстве переменных, и получаемые модели как следствие будут иметь неодинаковую достоверность и точность в разных областях изменения параметров.
4. Данные должны рассматриваться как слабо структурированные или даже неструктурированные, т. е. такие, о которых известна их принадлежность к определенному типу, например:
· данные заданы интервально – X 
(Xmax; Xmin);
· в виде утверждения типа «Х близко к 10», т. е. в виде нечеткой или лингвистической переменной.
Задача управления в условиях неопределенности (УН) в общем случае описывается в нечетком метрическом базисе или метрическом базисе нечетких отношений и нечетких мер разных отношений – по Сугено, Мамдани, Шоке и др. Отношение Z = G(X,V), которое воссоздает в указанном смысле функционирование системы S называют информационной моделью (ИМ) S.
При моделировании реальных систем значения функции системы S или оператора F (X,V)
определяются на основе экспериментов или наблюдений, которые проводятся лишь для конечного числа параметров X. При этом значения как X, так и Y
измеряются приблизительно и подвергнуты ошибкам разной природы.
При разработке ИМ очень важным является выбор информационного базиса. В последнее время в задачах прогнозирования с учетом УН в качестве элементов информационного базиса используются нечеткие нейронные сети (НС).
Анализ теоретических положений прогнозирования связан с теоремой Такенси. Смысловая трактовка этой теоремы состоит в следующем. Наука базируется на принципе повторяемости мира: в каждый определенный момент система проходит подобные условия – внутренние и внешние состояния. В связи с этим можно ожидать поведение системы определенным образом. Предсказание эксплуатирует этот принцип, так как используя наблюдаемое поведение системы, можно предсказать ее будущее поведение, когда схожие условия появляются вновь. Это верно и в том случае, если уравнения, описывающие поведение системы, неизвестны и их необходимо моделировать, т. е. находить через обучение системы с помощью модели.
Теорема предполагает в принципе нелинейную авторегрессию в форме
Y (t) = G [Y (t-1); Y
(t-2);…; Y (t-T)],
которая в отсутствие шума моделирует серию точно.
Проблема состоит только в поиске такой нелинейной авторегрессии. Имеется, по крайней мере, три возможности решения задачи:
1. Локальные линейные модели.
2. Искусственные нейронные сети.
3. Генетическое программирование.
Хотя техника локального линейного моделирования используется для линейной модели на каждом отдельном шаге предсказания, результирующая модель может быть существенно нелинейной. Это связано с тем, что каждая из этих линейных аппроксимаций выполняется для каждого отдельного соседнего значения Y(t-k).
В настоящее время наиболее перспективным подходом к построению прогностических моделей являются многослойные нейронные сети персептронного типа. Но новые методы прогнозирования, ориентированные исключительно на НС, еще не разработаны. Поэтому выход может быть найден в использовании старых методов на новом логическом базисе. Существующая практика применения их показывает, что они позволяют получить прогноз в практически безнадежных, с точки зрения стандартной математики, ситуациях. Примером этого является модель предсказания с использованием ближайших соседей. Суть ее состоит в том, что если траектория состояния системы в течение времени наблюдения достаточное число раз проходила через область Gn – мерного фазового пространства, то это может быть достаточно, чтобы в данной области получить локальный прогноз. Нейронная сеть позволяет найти такую траекторию (или ее проекцию), правда неизвестно по каким принципам. Такие области G и соответствующие им маломодовые модели стали называть «руслами» (рис. 2).
|
|
|
|
Рис. 2. Маломодовая русловая модель предсказания (черными точками выделена траектория предсказания)
В [3] предложено решать задачу прогнозирования с использованием основных положений теории хаоса. В основе лежит представление вектора столбца прогнозируемой величины Y как
,
где
Yлин = Ха, Х – матрица критериев прогноза (Xij); a – параметр линейной функции; i
– количество критериев; j – порядковый номер критерия.
Линейная составляющая может быть вычислена с помощью стандартных методов, например, методом наименьших квадратов или решением системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Нелинейная составляющая может быть представлена в виде
Y
= Ψ(X, b) + ε,
Где
b – искомые параметры нелинейной функции; ε – погрешность.
Такого вида задачи можно решать двумя классами моделей на базе нейронных сетей:
· НС с передаточными функциями сигмоидного типа (непрерывные, ограниченные, дифференцируемые во всем диапазоне определения);
· НС с моделями, основанными на теории детерминированного хаоса.
Общая схема решения СЛАУ с помощью НС и предсказывающего фильтра Габора – Колмогорова может быть представлена следующим образом (рис. 3).
Рис. 3. Прогностическая модель на основе НС и уравнения авторегрессии
Габора – Колмогорова
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Леоненков, А. Нечеткое моделирование в среде MATLAB и fuzzyTech / А. Леоненков – СПб. : БХВ – Петербург, 2003. – 736 с.
2. Минаев, Ю. Н. Методы и алгоритмы идентификации и прогнозирования в условиях неопределенности в нейросетевом логическом базисе / Ю. Н. Минаев, О. Ю. Филимонова, Лиес Бенамеур – М. : Горячая линия – Телеком, 2003. – 205 с.
3. Яковлев, В. Л. Создание математических моделей прогнозирования при помощи нейросетевых алгоритмов / В. Л Яковлев, Г. Л. Яковлев, Л. А. Лисицкий // Информационные технологии.
4.
Ярушкина, Н. Г. Основы теории нечетких и гибридных систем : учеб. пособие / Н. Г. Ярушкина. – М. : Финансы и статистика, 2004. – 320 с.
Похожие статьи: